Funkce

s využitím programu GeoGebra

Základní operace s funkcemi

Rovnost funkcí
O dvou funkcích říkáme, že jsou si rovny (psáno f=g), právě když mají týž definiční obor D(f)=D(g) a v každém bodě x tohoto definičního oboru je f(x)=g(x).

Algebraické operace s funkcemi
Nechť průnik D definičních oborů funkcí f, g je neprázdná množina:

Součet funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D číslo f(x) + g(x), dostaneme funkci f+g, zvanou součet funkcí f a g.

Rozdíl funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D číslo f(x) - g(x), dostaneme funkci f-g, zvanou rozdíl funkcí f a g.

Součin funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D číslo f(x) · g(x), dostaneme funkci f·g, zvanou součin funkcí f a g.

Podíl funkcí f,g - přiřadíme-li každému x ∈ D číslo f(x) / g(x), dostaneme funkci f/g, zvanou podíl funkcí f a g (g(x)≠0 pro všechna x ∈ D.

Složená funkce
Funkce je zobrazení, proto je můžeme skládat. Musí být splněny následující podmínky. Nechť funkce g: u=g(x) má definičí obor D(g), jemuž přísluší obor funkčních hodnot H(g) (neprázdná množina) a nechť funkce f: y=f(u) má definiční obor takový, že platí H(g) je podmnožinou D(f).

Jednodušeji řečeno, tato podmínka nám říká, že pro každé x ∈ D(g) je u=g(x) ∈ D(f). Pak lze vytvořit funkci h: y=h(x) s defičním oborem D(h)=D(g), jejíž funkční předpis je h(x)=f(g(x)) pro každé x ∈ D(h).

Funkci h nazýváme funkcí složenou, kde f je vnější složka a g vnitřní složka. Píšeme h= fog.

Doplnění na čtverec u kvadratických funkcí
"Doplnění na čtverec" využíváme ke zjištění souřadnic vrcholu paraboly. Jak na to?

Mějme např. funkci y= x2-4x+5.

Nejdříve se soustředíme na její nekonstantní členy, tzn. x2-4x.

Ty chceme napsat pomocí závorky (x±a)2 tak, aby jsme po zpětném umocnění této závorky opět dostali tyto členy.

Zřejmě, pro nás taková závorka bude (x-2)2. Pokud bychom ji podle vzorce umocnili, dostáváme y= x2-4x+4.

Ze členů x2-4x jsme tedy změnou na závorku dostali členy x2-4x+4.

Abychom mohli původní dva členy nahradit závorkou, musíme ještě od závorky odečíst 4 → x2-4x=(x-2)2-4.

Pak už se vrátíme k původní rovnici y= x2-4x+5, kde nahradíme výraz x2-4x výrazem (x-2)2-4.

Takže dostaneme funkci y= (x-2)2-4+5=(x-2)2+1.

Z tohoto tvaru funkce už vidíme souřadnice vrcholu paraboly: V[2;1].

Diskriminant kvadratické rovnice
Diskriminant kvadratické rovnice y= ax2+bx+c je číslo, pomocí kterého můžeme zjistit kořeny kvadratické rovnice. Kořeny nalezneme ve tvaru x1,2= (-b±√D)/2a, kde diskriminant D= b2-4ac.

Pokud D>0 má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny (dva průsečíky s osou x).

Pokud D=0 má kvadratická rovnice jeden stejný dvojnásobný kořen (jeden průsečík s osou x).

Pokud D<0 nemá rovnice žádný reálný kořen (žádný průsečík s osou x).

        Autor: Václav Strnad, email: strnad10@seznam.cz
Poslední aktualizace: 24. 3. 2013

Valid XHTML | CSS