Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Průběh funkce
Protože je zřejmě nemožné sestrojit graf funkce postupným sestrojováním bodů (definiční obor funkce může být neomezený, např. x∈ R),
můžeme si znalostí diferenciálního počtu usnadnit sestrojení takového grafu.
Určením vlastností funkcí dokážeme zjistit vlastnosti funkce na jednotlivých intervalech, zjistíme, jak se chová funkce, když x se blíží k nekonečnu atd. Určování těchto vlastností nazýváme vyšetřováním průběhu funkce.
Důležité pojmy a vlastnosti pro průběh funkce
Stacionární bod vs extrém
Body x, pro které platí: f'(x)= 0 nazýváme stacionární body. Stacionární bod ale nemusí být nutně lokální extrém funkce.
Představme si např. funkci x3,
jejíž první derivace je nulová v bodě x=0.
Nicméně v tomto bodě určitě není lokální maximum, ani minimum funkce (viz graf kubické funkce).
Je to tak, protože v intervalech (-∞,0) i (0,∞) má derivace stejné znaménko (+), proto funkce roste v celém definičním oboru.
Tedy pro extrém x= a musí platit to, že v bodě "a" je první derivace funkce nulová a zároveň dochází ke změně znamének v příslušných intervalech (např. (-∞,a) a (a,+∞)).
Znaménka první derivace
Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu funkce rostoucí.
Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu funkce klesající.
Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) nulovou derivaci, je v tomto intervalu funkce konstantní.
Extrémy
Má-li funkce f v bodě x lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f'(x), pak platí: f'(x) = 0.
Mění-li se znaménko derivace ve stacionárním bodě ze znaménka plus (+) na znaménko mínus (-), má funkce v tomto bodě lokální maximum, mění-li se z minus (-) na plus (+), má funkce v tomto bodě minimum.
Znaménka druhé derivace
Jestliže v každém bodě intervalu (a,b) platí f''(x) > 0, pak je v tomto intervalu funkce f konvexní.
Jestliže v každém bodě intervalu (a,b) platí f''(x) < 0, pak je v tomto intervalu funkce f konkávní.
Inflexní bod
Je-li bod x inflexním bodem funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci, pak f''(x) = 0.
Mění-li se znaménko druhé derivace v bodě x, je tento bod inflexním bodem funkce f.