Matematika
pro střední školy
Funkce
s využitím programu GeoGebra
Vlastnosti funkcí
Asymptoty funkce
Při sestrojování grafu funkce pomůže nalezení přímky, ke které se graf funkce neustále přibližuje - asymptoty.
Rozlišujeme dva základní typy asymptot - asymptota se směrnicí a asymptota bez směrnice.
Inflexní bod
Bod, pro který platí f´´(x)=0 a ve kterém se mění průběh funkce z konvexního na konkávní nebo naopak.
Inverzní funkce
Jestliže funkce y=f(x) je prostá na celém definičním oboru D(f) a má obor hodnot H(f), pak lze na H(f) definovat funkci,
která každému číslu y ∈ H(f) přiřazuje právě to číslo x ∈ D(f), pro které f(x)= y a která se nazývá inverzní funkce k funkci f.
Značí se f-1.
(Pozn. Předchozí věta říká, že definiční obor původní funkce je oborem hodnot funkce k ní inverzní a zároveň obor hodnot původní funkce je definičním oborem funkce k ní inverzní.)
V praxi zjišťujeme inverzní funkci tak, že zaměníme proměnné x a y a poté vyjádříme y (tím dostaneme předpis inverzní funkce -
např. funkce y= 2x+1 bude mít inverzní funkci → x= 2y+1 → x-1= 2y → y= (1/2) ·(x-1).
Konvexní, konkávní funkce na intervalu
Konvexní funkce:
Pokud funkce na některém intervalu svůj růst zrychluje (případně zpomaluje svůj pokles), tzn. graf je zakřivený směrem nahoru, označuje se zde funkce jako konvexní.
Konkávní funkce:
Pokud je graf zakřiven směrem dolů (a funkce zpomaluje růst nebo zvyšuje pokles), označuje se funkce jako konkávní.
Inflexní bod:
Přechod mezi konvexní a konkávní částí grafu se nazývá inflexní bod.
Minimum, maximum funkce
Je-li f funkce, množina A (patřící do definičního oboru), a,b ∈ A, pak funkce má na A:
- V bodě a minimum (nejmenší hodnotu), právě když pro všechna x ∈ A je f(x) ≥ f(a).
- V bodě b maximum (největší hodnotu), právě když pro všechna x ∈ A je f(x) ≤ f(a).
Monotónní (nerost., nekles.) a ryze monotónní funkce (rost., kles.) v bodě
Rostoucí funkce: pro každé x1, x2 ∈ D(f): x1 < x2, potom f(x1)<f(x2).
Klesající funkce: pro každé x1, x2 ∈ D(f): x1 < x2, potom f(x1) > f(x2).
Nerostoucí funkce: pro každé x1, x2 ∈ D(f): x1 < x2, potom f(x1) ≥ f(x2).
Neklesající funkce: pro každé x1, x2 ∈ D(f): x1 < x2, potom f(x1) ≤ f(x2).
Omezená funkce (zdola, shora)
Nechť f je daná funkce a M podmnožina jejího definičního oboru D(f):
Funkce f se nazývá funkce zdola omezená na množině M, právě když existuje číslo d ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je f(x) ≥ d.
Funkce f se nazývá funkce shora omezená na množině M, právě když existuje číslo h ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je f(x) ≤ d.
Funkce f se nazývá omezená pokud je současně omezená shora i zdola.
Periodická funkce
Funkci y=f(x) nazýváme periodickou funkcí s periodou p, existuje-li takové nejmenší číslo p>0, že platí:
- Je-li funkce f definována v bodě x0, je definována také v bodech xk= x0 + k · p pro všechna celá čísla k.
- Pro všechna čísla x ∈ D(f) platí: f(x)= f(x + k · p).
Prostá funkce
Funkce y=f(x) s definičním oborem D(f) se nazývá prostá, jestliže pro každá dvě x1≠x2 ∈ D(f)
platí: f(x1) ≠ f(x2).
Směrnice přímky
Směrnice přímky je tangens úhlu, který svírá daná přímka (nerovnoběžná s osou y) s kladným směrem osy x pravoúhlých souřadnic.
Stacionární bod
Bod, pro který platí f´(x)=0. Je to zároveň bod, který je podezřelý z extrému.
Sudá a lichá funkce
Funkce y=f(x) se nazývá sudá, resp. lichá, právě když definiční obor D(f) funkce f je souměrný podle počátku souřadnicové soustavy (
tj. s každým bodem x ∈ D(f) patří do oboru D(f) také bod -x)
a pro každé číslo x ∈ D(f) platí f(-x)=f(x), resp. f(-x)=-f(x).
Graf sudé funkce je souměrný podle osy y,
kdežto graf liché funkce je souměrný podle počátku [0;0].