Matematika

pro střední školy

• Home
• GeoGebra
• GeoGebra - ovládání
• Odkazy

• Co je to funkce?
  • základní pojmy
  • vlastnosti
  • operace s funkcemi
• Mocninné funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Lineární funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Kvadratické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Kubické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
• Lineární lomená funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Goniometrické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Cyklometrické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Exponenciální funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Logaritmické funkce
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Funkce s absolutní hodnotou
  • význam koeficientů
  • cvičné úlohy
  • sbírka příkladů
• Průběh funkce
  • postup při vyšetřování
  • vyšetření průběhu funkce
  • průběh funkce s parametry
  • sbírka příkladů
• Speciální typy funkcí
  • signum
  • celá část
• Seznam použité literatury

Průběh funkce - vyšetření konkrétní funkce

Příklad: Vyšetřete průběh funkce f:y= 2x²·e^-x

Postupujme podle vzorového postupu při vyšetřování funkcí:

• Definiční obor: Ke každému x ∈ R nalezneme pro tuto funkci jeho funkční hodnotu, tzn. D(f)=R.
• Je funkce sudá, lichá nebo periodická?: pro každé x ∈ R platí:
  f(-x)= 2·(-x)²·e^-(-x)= 2·x²·e^x, tato funkce se však nerovná ani f(x), ani -f(x), proto není ani sudá ani lichá, není ani periodická.
• Nalezení průsečíků s osami:
  • s osou x: y=0 → y= 2x²·e^-x = 0 právě když x=0 → P₁=[0;0].
  • s osou y: x=0 → y= 2·0²·e^-0 = 0 → P₂=[0;0], ale P₁=P₂, máme tedy jediný průsečík s osami.
• Výpočet limit (jdoucí k +∞ a -∞, s nedefinovanou hodnotou):
  • 
  • 
  • funkce f nemá body s nedefinovanou hodnotou, jejím definičním oborem jsou všechna reálná čísla.
• Vyšetření asymptot:
  • bez směrnice: funkce je definována v celém oboru reálných čísel, proto nemá žádnou asymptotu bez směrnice.
  • se směrnicí:
    • pokud platí základní podmínka - viz. asymptota, potom:
      k = lim (x → +∞) (2x²·e^-x)= 0
      q = lim (x → +∞) (2x²·e^-x) - 0·x = 0 → asymptota má tvar: y= 0·x + 0 → y = 0
      nebo
      k = lim (x → -∞) (2x²·e^-x) → nemá vlastní limitu (nemůžeme spočítat k ani q)
  • funkce f nemá body s nedefinovanou hodnotou, jejím definičním oborem jsou všechna reálná čísla.
  • jedinou asymptotou je přímka y=0.
• Vyšetření první derivace funkce:
  • první derivace funkce: f´(x)= [2x²·e^-x]´= 4xe^-x - 2x²e^-x = 2xe^-x(2 - x).
  • stacionární body: 2xe^-x(2 - x)= 0 → x=2, x=0, nemá body s nedefinovanou první derivací.
  • nalezení intervalů (kde funkce roste, klesá):
    • V intervalu (-∞,0) je f´(x) = 2xe^-x(2 - x)<0 a funkce je v tomto intervalu klesající.
    • V intervalu (0,2) je f´(x)= 2xe^-x(2 - x)>0 (např. x=1) a funkce je tedy rostoucí.
    • V intervalu (2,∞) je f´(x) = 2xe^-x(2 - x)<0 a je klesající.
    • V bodě x=0 je tedy lokální minimum a v bodě x=2 lokální maximum.
• Vyšetření druhé derivace funkce:
  • druhá derivace funkce: f´´(x)= [2xe^-x(2 - x)]´= [(4x-2x²)e^-x]´= (4-4x)e^-x + (4x-2x²)·e^-x·(-1)= 2e^-x(x²-4x+2).
  • položíme druhou derivaci rovno nule → nalezení potencionálních inflexních bodů → f´´(x)= 2e^-x(x²-4x+2)=0 → x = 2-√2, x= 2+√2.
  • nalezení intervalů (kde je funkce konkávní, konvexní):
    • V intervalu (-∞,2-√2) je f´´(x)= 2e^-x(x²-4x+2)>0 např.(x=0) a funkce je konvexní.
    • V intervalu (2-√2,2+√2) je f´´(x)= 2e^-x(x²-4x+2)<0 např. (x=1) a je konkávní.
    • V intervalu (2+√2,+ ∞) je f´´(x)= 2e^-x(x²-4x+2)>0 např.(x=3) a je konvexní.
    • V obou podezřelých bodech dochází ke znaménkové změně, a proto se v obou případech jedná o body inflexní.
• Zjištění oboru hodnot:
  Funkce f: y= 2x²·e^-x nabývá pouze nezáporných hodnot. Proto jejím oborem hodnot je H(f)=(0,∞).

Graf funkce: Zobrazit/skrýt

Valid XHTML | CSS